2.1.1 열 운동 (Thermal Motion)
반도체 내에서는 전계가 가해지지 않더라도 열 에너지로 인해 캐리어가 움직입니다. 전자의 평균 운동 에너지는 (총 운동 에너지 / 전자 수)로 계산할 수 있습니다. E - Ec 에너지만큼 적분을 하면 결과적으로 1.5kT가 나오게 되는데, 여기서 k는 볼츠만 상수이고 T는 온도입니다.
이 평균 운동 에너지를 활용하면 전자나 정공의 열 에너지에 의한 속도를 구할 수 있습니다. 전자와 정공은 열 에너지에 의해 움직이지만 직선 운동이 아니기 때문에 일정한 전류를 발생시키지 않습니다. 결정 내의 결함들과의 충돌과 산란이 발생하면서 운동 방향이 빈번하게 바뀌게 됩니다. 이러한 충돌에 의해 움직이는 거리는 수십 나노미터에서 수백 옹스트롬 정도이며, 충돌 사이의 시간은 10^-13 (피코초)입니다. 따라서 충돌로 인해 충분한 전류가 발생하지 않으며 방향 또한 일정하지 않아 전류를 생성하지 못하고 열잡음만이 발생합니다.
2.2.1 Mobility
열 에너지에 의해 캐리어는 충돌과 산란으로 인해 평균 속도가 0입니다. 따라서 전류가 흐르지 않습니다. 그러나 전기장이 반도체에 가해지면 평균 속도가 0이 아닌 드리프트 속도라고 불리는 값을 가지게 됩니다. 드리프트 속도는 전기장에 의해 캐리어가 움직이는 속도로, 이를 구하기 위해서는 전기장에 의해 발생하는 운동량과 전체 드리프트 운동량의 관계식을 사용합니다.
여기서 t는 캐리어가 충돌하는 평균 자유 시간이고 m은 캐리어의 질량입니다. μ는 모빌리티(Mobility)로, 캐리어의 이동 능력을 나타냅니다. 모빌리티가 높을수록 캐리어의 속도는 빠릅니다. 전자의 모빌리티는 음의 부호를 가지는데, 이는 전기장과 반대 방향으로 움직이기 때문입니다. 표 2.1은 다양한 물질에서의 전자와 정공의 모빌리티를 나타냅니다.
| 물질 별 모빌리티 | Si | Ge | GaAs | InAs |
| 𝝁_𝒏 | 1400 | 3900 | 8500 | 30,000 |
| 𝝁_𝒑 | 470 | 1900 | 400 | 500 |
표 2.1 Mobility of Electrons and Holes
2.2.2 Scattering Mechanism
캐리어가 충돌하고 산란하는 요인은 주로 포논 산란(Phonon Scattering)과 이온화 산란(Ionized Impurity Scattering)이 있습니다. 포논은 열 에너지로 인해 원자들이 진동을 발생시켜 전자들의 이동을 방해하는 산란입니다.
포논 산란은 온도에 비례하며, 온도가 증가할수록 모빌리티는 감소합니다. 이온화 산란은 도펀트 원자들의 전하에 의해 캐리어들의 운동 방향이 바뀌는 현상입니다. 도펀트들이 이온화된 이온들은 전하를 가지게 되며 전자나 정공과의 쿨롱 힘이 작용하게 됩니다. 캐리어가 이온을 지나가면 운동 방향이 바뀌게 됩니다.
이온화 산란은 온도에 비례합니다. 모빌리티는 온도에 따라 변하는데, 높은 온도에서는 열 에너지에 의해 캐리어의 운동 에너지가 높아져 도펀트 이온들을 무시하고 지나갈 수 있기 때문에 온도에 따라 모빌리티가 감소하는 경향을 보입니다. 그러나 매우 큰 도펀트 농도에서는 (10^18 이상) 모빌리티 차이가 거의 없는데, 이는 높은 도펀트 농도에 의해 많은 캐리어가 발생하여 이온화 산란을 커버하고 남기 때문입니다. 이러한 현상을 자유-캐리어 스크리닝(Free Carrier Screening)이라고 합니다.
2.2.3 Why mobility of electrons is faster than that of holes?
표 2.1에서 볼 수 있듯이 정공은 전자보다 모빌리티가 낮습니다. 이는 정공의 유효질량이 전자보다 크기 때문입니다. 같은 에너지가 주어진다면 큰 질량을 움직이기 어렵고 작은 질량을 움직이기 쉬운데, 이는 유효질량이 작은 정공이 더 무거워 보이기 때문입니다. 정공의 유효질량이 낮은 이유는 정공이 격자 내 원자끼리 공유 결합에서 벗어난 전자의 빈 공간이기 때문입니다. 전자는 원자에서 벗어나 격자 내 원자들 사이를 움직일 수 있지만, 정공은 이온화된 전자의 빈자리만을 움직일 수 있기 때문에 구조적으로 무거워 보이는 것입니다.
2.2.4 Current Density and Conductivity
캐리어 드리프트 결과로 반도체 내 전류 밀도를 구할 수 있습니다. 전류 밀도는 단위 면적 당 흐르는 전류를 의미하며, 정공과 전자의 전류 밀도는 각각 J = qpv = qpuE (Bold는 vector) , J = qnv = qnuE 입니다.
총 드리프트 전류 밀도는 전자와 정공의 전류 밀도의 합으로 나타내며, 입니다. 여기서 는 반도체의 전도도를 나타냅니다. 전도도는 전자와 정공의 이동률과 전하의 크기를 종합적으로 고려한 값으로, 전류 전달 능력을 측정하는 중요한 물리적 특성 중 하나입니다.
- : 전류 밀도 (Current Density)
- : 전하의 크기
- : 정공의 이동률 (드리프트 속도)
- : 전자의 이동률 (드리프트 속도)
- : 전하의 이동 동력 (이동률에 대한 비례 상수)
- : 전기장 (Electric Field)
2.3.1 확산 전류 (Diffusion Current)
전류의 성분 중 드리프트 이외에도 확산 전류가 존재합니다. 확산은 높은 입자 농도 지점에서 낮은 지점으로 입자가 이동하는 현상으로, 이때 입자 이동의 비율은 농도 기울기에 비례합니다. 반도체 내에서 캐리어의 농도가 균일하지 않으면 확산이 발생하고, 캐리어 농도 차이의 기울기에 비례하게 됩니다.
수식으로 나타내면 다음과 같습니다.
- 는 전하량 (1.6x10^-19 C)
- 과 는 각각 전자와 정공의 확산 상수로, 나중에 2.5절에서 설명합니다.
확산 상수가 클수록 확산은 빠릅니다. 정공의 확산 전류의 값이 음의 부호인 이유는 농도가 감소하는 방향으로 전류가 흐르기 때문입니다. 전자와 전류의 흐름은 반대로, 전자 농도가 감소하는 방향으로 전자가 흐르기 때문에 확산 전류는 양의 값이 됩니다.
전류 밀도는 드리프트와 확산이 모두 작용하므로 두 효과를 더한 것과 같습니다. 확산 전류는 캐리어의 농도 차이에 의해 발생하며, 이는 반도체 내에서 전자와 정공이 서로 다른 방향으로 확산함을 나타냅니다.
2.4.1 에너지 밴드 다이어그램
반도체 물체에 전압을 가하면 에너지 밴드 다이어그램 (EBD)이 변합니다. 전압이 가해지면 양의 전하 위치의 에너지를 증가시키고 음의 전하 위치의 에너지를 감소시킵니다. 전류는 에너지가 높은 곳에서 낮은 곳으로 흐릅니다. 다시 말하면, 양전하(정공)는 에너지가 높은 지점에서 낮은 지점으로, 음전하(전자)는 에너지가 낮은 지점에서 높은 지점으로 이동합니다.
에너지 밴드 다이어그램은 주로 전자를 기준으로 그려지기 때문에 전압이 가해지면 전자 수준에서 에너지가 어떻게 변하는지를 보여줍니다. 에너지 밴드 다이어그램에서는 전자 수준 (전자 에너지 대역)이 상승하고 전자가 향하는 방향으로는 에너지가 감소합니다.
이 그림에서 보듯이, 와 는 전압이 낮은 지점에서 높은 지점으로 올라가고, 높은 지점에서 낮은 지점으로 내려갑니다. 전압이 가해지면 전자들은 에너지 밴드에서 구르는 것처럼 이동하고, 정공들은 거품처럼 움직입니다. 이러한 에너지 밴드 변화로 인해 캐리어들이 움직임으로써 전류가 생성됩니다.
2.5.1 아인슈타인 관계식
열 평형 상태에서는 Fermi 레벨 ()이 일정합니다. 그림 2.7에서 보듯이, n 타입 반도체에서 왼쪽이 오른쪽보다 더 많이 도핑되어 있습니다.
도핑이 더 많이 된 왼쪽의 전자 농도가 많아져서 왼쪽의 전자 에너지 준위 ()는 에 가까워집니다. 그 결과, 가 일정하지 않기 때문에 오른쪽으로 전기장이 작용합니다. 그러나 반도체는 평형 상태이기 때문에 전류 밀도 는 0입니다.
이 상태에서 아인슈타인 관계식을 사용하여 확산 계수 와 모빌리티 사이의 관계식을 유도할 수 있습니다. 아인슈타인 관계식은 다음과 같습니다.
여기서,
- 는 확산 계수,
- 는 모빌리티,
- 는 볼츠만 상수,
- 는 온도 (Kelvin),
- 는 전하량입니다.
이 관계식은 확산 계수 D와 모빌리티 𝝁 중 하나만 알면 다른 하나를 구할 수 있다는 것을 의미합니다.
Reference
-. Chenming Calvin Hu, Modern Semiconductor Devices for Integrated Circuits, PEARSON(2013)
2.6.1 재결합 (Recombination)
재결합은 열평형 상태에서 전자와 정공의 농도를 나타내는 및 를 기준으로 이루어집니다.
- 외부에서 빛이 가해지면, Valence Band에 있는 전자가 Conduction Band로 이동하여 전자-정공 쌍, 즉 EHP (Electron-Hole Pair)이 생성됩니다.
- 이렇게 발생한 EHP로 인해 과잉 캐리어 농도 과 이 생성되며, 과잉 캐리어는 일시적으로 존재합니다.
- 빛이 꺼지면, 과 는 감소하고, 열평형 상태의 캐리어 농도 과 로 돌아갑니다.
- 그동안 발생한 과잉 전자들은 Conduction Band에서 Valence Band의 정공 위치로 재배치됩니다.
재결합은 캐리어의 농도 변화를 설명하는 재결합 비율을 통해 정의됩니다. 재결합 시간 또는 캐리어 수명(τ)은 재결합에 소요되는 시간으로, 일반적으로 Si의 는 1μs 정도입니다.
그러나 반도체 내에 불순물이 섞여있으면 Band Gap 내에 Trap Site가 형성되어 재결합이 쉽게 발생합니다. 이는 불순물이 반도체 소자의 성능에 영향을 미칠 수 있음을 의미하며, 반도체 공정에서는 이물질이 섞이지 않도록 극도의 청결함을 유지해야 합니다.
2.7.1 열 생성 (Thermal Generation)
열 생성은 재결합과는 반대로, 온도가 0이 아닌 상태에서 계속적으로 전자-정공 쌍(EHP)이 생성되는 현상입니다.
- 온도가 0이 아니면 열 에너지로 인해 전자-정공 쌍이 지속적으로 생성됩니다.
- 열 에너지로 생성된 전자와 정공은 다시 재결합에 의해 소멸됩니다.
- 이면 열 생성과 재결합 비율은 같습니다.
- 이면 과잉 캐리어가 많아져서 열 생성보다는 재결합 비율이 더 높습니다.
- 이면 과잉 캐리어가 적어져서 열 평형상태 농도보다 전자의 수가 적어지기 때문에 열 생성 비율이 더 높아집니다.
- np=ni^2 일 때 열 생성의 비율은 재결합 비율과 같습니다.
- 때 재결합 비율이 높습니다.
- np <ni^2일 때 열 생성 비율이 높습니다.
이러한 현상은 온도가 올라갈수록 열 생성이 증가하게 됩니다. 열 생성과 재결합은 반도체 내에서 지속적으로 일어나는 상호 연관된 과정으로, 온도 및 캐리어 농도에 따라 그 비율이 변합니다.
2.8.1 준 페르미 레벨 (Quasi Fermi Level)
만약 np ≠ ni^2 이면, 반도체는 열 평형 상태에 있지 않습니다. 이는 전자와 정공이 서로 평형 상태가 아니라는 것을 의미하며, 과잉 캐리어가 많거나 적어서 재결합 비율과 생성 비율이 다른 상태입니다. 열 평형 상태가 아니라면 Mass Action Law ( np = ni^2 )를 사용할 수 없고, 단 하나의 페르미 레벨을 갖지 않게 됩니다.
이러한 상황에서는 준 페르미 레벨(Efn, Efp)을 도입함으로써 문제를 해결할 수 있습니다. 이는 전자와 정공이 평형 상태가 아니더라도 각각의 평형 상태에 있을 수 있음을 나타냅니다. 전자와 정공 각각의 페르미 레벨을 표현하며, 전자와 정공이 열 평형 상태에 있다면 입니다. 아래의 식들을 사용하여 평형 상태의 관계식을 활용할 수 있습니다.
만약 과잉 캐리어 n', p'가 Low Level Injection의 경우(과잉 캐리어가 적은) 다수 캐리어는 변동이 미미하고 소수 캐리어의 급격한 증가가 있습니다. 그림 2.8 (a)에서 과 는 동일하고 소수 캐리어가 증가하면서 가 새로 생성됩니다.
과잉 캐리어가 많은 High Level Injection의 경우, 다수/소수 캐리어 모두가 증가합니다. 은 (Conduction Band)와 가까워지고 도 (Valence Band)와 가까워지게 생성됩니다. 이러한 상태를 유사 평형 상태 (Quasi Equilibrium)이라고 합니다.
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